SISTEM BILANGAN

A. Bilangan desimal

Dalam keseharian kehidupan manusia selalau menggunakan bilangan basis 10 ( desimal ) dalam penghitungan angka, sedangkan pada dasarnya didalam computer selalu menggunakan bilangan basis 2 ( biner ), contohnya pada logika 1 dan 0, maksudnya 1 dan 0 dapat dikatakan tinggi rendah. Representatif bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :

D_n...D₂ D₁D₀, D_-1 D_-2.... D_-m

= D_nx 2ⁿ + ... + D₂ x 2² + D₁ x 2¹ + D₀ x 2⁰, D_-1 x 2^-1 + D_-2 x 2^-2 + .... D_-m x 2^-m

Pengoperasian sistem digital pada rangkaian digital hanya mewakili bilangan, hurur dan simbol. Sistem bilangan yang selalu digunakan pada saat ini adalah bilangan desimal yang menggunakan 10 lambang bilangan dari 0 sampai 10.

Contoh : konversi bilangan 3622 ke bilangan desimal:

3 6 2 2

2 x 10⁰ = 2

2 x 10¹ = 20

6 x 10² = 600

3 x 10³ = 3000

3622

Ket : pada contoh soal diatas, menggunakan prosedur yang uum untuk mengkonversi nilai ke nilai desimalnya ( basis ).

B. Bilangan biner

Pada metode perhitungan desimal yang biasa digunakan sehari – hari berdasarkan pada 10 digit, yaitu dari 0 sampai 9.apabila menggunakan metode ini didalam sistem elektronik, sangat diperlukan rangkaian yang tanggap dalam 10 level tegangan dan arus, yang tentunya akan diperlukan rangkaian yang sangat menyulitkan. Oleh karena itu didalam rangkaian elektronika hanya akan menggunakan sistem bilangan yang sesederhana mungkin, sistem bilangan yang dimaksud adalah sistem bilangan biner ( bilangan dengan basis 2 ). Karena pada sistem bilangan biner, hanya mengenal logika 1 dan 0, atau dua level yaitu hidup ( on ) dan mati ( off ). Disamping hidup dan mati, dapat juga dinamakan sebagai sistem tinggi rendah. Representatif bilangan biner adalah sebagai berikut :

B_n...B₂ B₁B₀, B_-1 B_-2.... B_-m

= B_nx 2ⁿ + ... + B₂ x 2² + B₁ x 2¹ + B₀ x 2⁰, B_-1 x 2^-1 + B_-2 x 2^-2 + .... B_-m x 2^-m

Misalnya terdapat suatu masalah, diketahui nilai sebuah bilangan biner 1001₂tentukan nlai bilangan desimalnya ?

Dari hasil perhitungan diatas, bilangan biner 1001₂ sama dengan bilangan desimal 9 ( dilambangkan dengan 9₁₀ sesuai dengan basisnya ).

Bilangan biiner 1001₂ , Pada aplikasinya diperlukan empat rangkain hidup - mati, rangkaian yang pertama khusus untuk menangani bilangan 1 yang pertama, dua rangkaian selanjutnya menangani dua nol, dan yang keempat menangani bilangan 1 yang terakhir. Hal ini berarti, didalam aplikasi bilangan biner banyak memerlukan rangkaian hidup - mati sederhana yang berurutan, atau seri sehingga level tinggi atau rendah ( 5 – V atau 0 – V ) tersimpan diddalamnya dan selanjutnya dapat diambil dan dioperasikan

Jenis – jenis piranti biner :

1. Gerbang ( gate )

2. Flip – flop

3. Pencatat ( register )

4. Pengingat ( memory )

Karena pada sistem bilangan biner hanya memilki dua nilai, yaitu 0 dan 1, maka rangkaian yang digunakan dalam sistem bilangan biner adalah secara mendasar atau tidak rumit. Akan tetapi, karena akan ada sangat banyak digit yang dgunakan ( misalnya, 256₁₀ = 1 0000 0000₂ ), maka akan diperlukan deretan rangkaian sederhana yang panjang agar mampu menangani semua digit.

Contoh : tentukan bilangan biner dari 4₂, 6₂, 72₂ ?

a. 4₁₀ = 1₂ pada posisi ketiga = 100₂

b. 6₁₀ = 4₁₀ + 1₁₀ = 100₂ + 1₂ + 1₂ = 100₂

c. 72₁₀ = 64₁₀ + 8₁₀ = 1000000₂ + 1000₂

= 1001000₂

C. Konversi biner ke desimal dan sebaliknya

Konversi dari bilangan biner ke desimal digunakan oleh komputer digital untuk mempermudah penerjemahan dan dapat dibaca oleh hardwere. Ketika seorang operator memasukan bilangan desimal ke komputer digital, bilangan tersebut harus dikonversikan kedalam bilangan biner sebelum beroprasi kedalam komputer digital tersebu. Untuk melakukan konversi dari desimal ke biner kita melakukan sebalik-nya, yaitu untuk bagian bulat bilangan desimal kita bagi dengan 2 secara ber-turut-turut dan sisa pembagian pertama sampai yang terakhir merupakan angka-angka biner paling kanan ke paling kiri. Untuk bagian pecahan, bilangan desimal dikalikan 2 secara berturut-turut dan angka di kiri koma desimal hasil setiap perkalian merupakan angka biner yang dicari, berturut-turut dari kiri ke kanan. Contoh berikut ini memperjelas proses itu.

Contoh 1.

Tentukanlah bilangan biner yang berharga sama dengan bilangan desimal

118.

Pembagian secara berturut-turut akan menghasilkan:

118 : 2 = 59 sisa 0 7 : 2 = 3 sisa 1

59 : 2 = 29 sisa 1 3 : 2 = 1 sisa 1

29 : 2 = 14 sisa 1 1 : 2 = 0 sisa 1

14 : 2 = 7 sisa 0 0 : 2 = 0 sisa 0

Jadi, (118)₁₀ = (01110110)₂

Perhatikan bahwa walaupun pembagian diteruskan, hasil berikutnya akan

tetap 0 dan sisanya juga tetap 0. Ini benar karena penambahan angka 0 di kiri bi-

langan tidak mengubah harganya.

Contoh 2.

Tentukanlah bilangan biner yang berharga sama dengan bilangan desimal

0,8125.

Pengalian secara berturut-turut akan menghasilkan :

0.8125 x 2 = 1,625 0,500 x 2 = 1,000

0,625 x 2 = 1,250 0,000 x 2 = 0,000

0,250 x 2 = 0,500

Jadi, (0,8125)₁₀ = (0,11010)₂

Contoh 3.

45 (10) = …..(2)

45 : 2 = 22 + sisa 1

22 : 2 = 11 + sisa 0

11 : 2 = 5 + sisa 1

5 : 2 = 2 + sisa 1

2 : 2 = 1 + sisa 0 101101(2) ditulis dari bawah ke atas.

D. Bilangan heksadecimal

Bilangan hexadesimal adalah suatu sistem bilangan dengan radiks (dasar sistem bilangan ) enambelas.Bilangan hexadesimal mempunyai enambelas angka dari 0 sampai 9 ditambah dengan A,B,C,D,E dan F. Nilai A ₁₆= 10 ₁₀, B ₁₆= 11 ₁₀, C ₁₆= 12 ₁₀, D ₁₆= 13 ₁₀, E ₁₆= 14 ₁₀, F ₁₆= 15 ₁₀Angka terendah adalah angka 0 dan angka tertinggi adalah F.Nilai suatu bilangan berbasis -16 basis -10 dapat dinyatakan sebagai ∑ (Nx 16-9 ^a) dengan nilai N = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 ; dan a = ……,-3,-2,-1,0,1,2,3,…(bilangan bulat dalam desimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap koma atau satuan).

Tabel 1.2 Bilangan dengan radiks yang berlainan

Desimal (Radiks 10)	Biner (Radiks 2)	oktal (Radiks 8)	Hexadecimal (Radiks 16)
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Contoh :

584AED₁₆ = (5x16)⁵+(8x16)⁴+(4x16)³+(10x16)²+(14x16)¹+(13x16)⁰

= (5242880)+(524288)+(16384)+(2560)+(224)+(13)

= 5786349₁₀

E,1A₁₆ = (14x16)⁰ + (1x16)^-1 + (10x16)^-2

= (14 )+(0,0625)+(0,0390625)

= 14,06640625₁₀

E. Konversi heksadesimal

Untuk mengkonversi sistem bilangan biner ke bilangan heksadesimal, yang mempunyai group biner di group empat (di mulai dari pernyataan yang terkecil). Bilangan heksadesimal mempunyai 16 nilai.

Contoh : Konversikan sistem bilangan biner 0 1 1 1 1 1 0 1₂ ke bilangan heksadesimal !

0 1 1 1 1 1 0 1

7 D = 7 D₁₆

Contoh : Konversikan bilangan heksadesimal A9₁₆ ke sistem bilangan biner !

A 9

1 0 1 0 1 0 0 1 = 1 0 1 0 1 0 0 1₂

Jadi, jawaban diatas dari A9₁₆ adalah 1 0 1 0 1 0 0 1₂.

KONVENSI HEKSADESIMAL KE DESIMAL

ccccLangkah-langkah :

Ø Bagi bilangan desimal dengan nilai 16 dan di tulis sisa pembagiannya sampai tidak bisa dibagi lagi 16.

Ø Pada sisa pembagian pertama merupakan LSD (Least Significant Digit)

Ø Dengan hasil pembagian terakkhir merupakan MSD (Most Significant Digit)

Ø Tulislah dengan hasil pembagian tersebut sebagai MSD beserta semua sisa hasil pembagian dari sisa hasil pembagian terakhir sampai dengan sisa hasil pembagaian pertama LSD

Contoh : Konversikan bilangan desimal 498₁₀ ke bilangan heksadesimal !

498 + 16 =31 sisa 2 (LSB)

31 + 16 = 1 sisa 15 (=F)

1 + 16 = 1 sisa 1 (MSB)

Jadi, jawaban soal diatas adalah 498₁₀ =IF2₁₆

Contoh kasus :

Pada umumnya komputer PC menggunakan 20 bit address code dapat mengidentefikasikan lebih dari 1 juta lokasi memori.

a. Berapa karakter heksa yang dibutuhkan untuk mengidentefikasikan alamat tiap lokasi memori?

b. Berapa alamat 4 digit heksa untuk lokasi memori 200h?

c. Jika 50 lokasi memori di gunakan untuk penyimpan data yang dimulai pada alamat 000C8H, berapa lokasi item data terakhir?

Jawab :

a. Ada 5 karakter heksa yang setiap digitnya membutuhkan 4 bit.

b. 00c7H (200₁₀ – C8H, tetapi lokasi memori dimulai dari 00000H, jadi kita harus kurangi 1.

F. Bilangan oktal

Bilangan oktal sangat penting dalam bidang digitall. Pertama-tama, sistem bilangan oktal mempunyai basis delapan, yang berarti sistem ini mempunyai delapan buah lambang dasar. Walaupun kita dapat mempergunakan delapan lambang berlainan yang manapun, namun lazim digunakan delapan angka desimal yang pertama. Dengan perkataan lain, angka-angka pada sistem bilangan oktal adalah

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

(tidak ada 8 atau 9) angka-angka ini, 0 sampai 7, mempunyai makna yang tepat sama seperti lambang-lambang desimal; yakni, 2 menyatakan ●●, 5 melambangkan ●●●●●, dan seterusnya.

Bagaimana anda mencacah sesudah 7 pada bilangan oktal? Seperti pada bilangan biner dan desimal, setelah kehabisan lambang dasar anda membentuk kombinasi 2 angka, dengan mengambil angka kedua diikuti oleh angka pertama, kemudian angka kedua diikuti oleh angka kedua, dan seterusnya. Dengan bilangan oktalanda mencacah sebagai berikut:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,

20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, . . .

Untuk mengingat bilangan oktal, ingatlah bilangan desimal dan coretlah setiap bilangan dengan angka yang lebih besar dari 7. Bilangan-bilangan yang terssisa merupakan bilangan oktal. Dengan perkataan lain, setelah mengingat bilangan desimal dan mencoret bilangan-bilangan yang mengandung 8 dan 9,

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,

18, 19, 20, 21, . . . . , 75, 76, 77, 78, 79, 80, . . . . , 100, 101, . . . .

Bilangan-bilangan yang tersisa adalah bilangan oktal.

Contoh :

Operasi Aritmetika pada Bilangan Oktal

a. Penjumlahan

Langkah-langkah penjumlahan octal :

- tambahkan masing-masing kolom secara desimal

- rubah dari hasil desimal ke octal

- tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal

- kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.

Contoh :

Desimal	Oktal
21 87 + 108	25 127 + 154 5 ₁₀ + 7 ₁₀ = 12 ₁₀ = 14 ₈ 2 ₁₀ + 2 ₁₀+ 1 ₁₀ = 5 ₁₀ = 5 ₈ 1 ₁₀ = 1 ₁₀ = 1 ₈

b. Pengurangan

Pengurangan Oktal dapat dilaukan secara sama dengan pengurangan bilangan desimal.

Contoh :

Desimal	Oktal
108 87 - 21	154 127 - 25 4 ₈ - 7 ₈ + 8 ₈ (borrow of) = 5 ₈ 5 ₈ - 2 ₈- 1 ₈ = 2 ₈ 1 ₈ - 1 ₈ = 0 ₈

c. Perkalian

Langkah – langkah :

- kalikan masing-masing kolom secara desimal

- rubah dari hasil desimal ke octal

- tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal

- kalau hasil perkalian tiap kolol terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya.

Contoh :

Desimal

Oktal

12 x

14 +

168

14 x

7 0

4 ₁₀ x 6 ₁₀ = 24 ₁₀ = 30 ₈

4 ₁₀ x 1 ₁₀ + 3 ₁₀ = 7 ₁₀= 7 ₈

14 x

1 ₁₀ x 6 ₁₀ = 6 ₁₀ = 6 ₈

1 ₁₀ x 1 ₁₀ = 1 ₁₀ = 1 ₈

14 x

16 +

2 5 0

7 ₁₀ + 6 ₁₀ = 13 ₁₀ = 15 ₈

1 ₁₀ + 1 ₁₀= 2 ₁₀ = 2 ₈

d. Pembagian

Desimal	Oktal
12 / 168 \ 14 12 - 48 48 – 0	14 / 250 \ 16 14 - 14 ₈ x 1 ₈ = 14 ₈ 110 110 - 14 ₈ x 6 ₈= 4 ₈x 6 ₈ = 30 ₈ 0 1 ₈ x 6 ₈= 6 ₈ + 110₈

G. Konversi desimal ke oktal dan sebaliknya

Bilangan Oktal mempunyai delapan macam simbol angka, yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan karena itu, dasar daripada bilangan ini adalah delapan.Sebagai contoh, (235,1)8 = 2 x 82 + 3 x 81 + 5 x 80 + 1 x 8-1 = (157,125)10.

Contoh: Konversikan bilangan biner 11111001₂ ke bilangan oktal.

Pemecahan:

0 1 1 1 1 1 0 0 1

3 7 1

Jadi, jawaban dari 11111001₂ adalah 371₂

Contoh: Konversi bilangan oktal 624₈ ke bilangan biner

Pemecahan:

6 2 4

110 010 100 = 110010100₂

Contoh: Konversikan bilangan oktal 326₈ ke bilangan desimal

Pemecahan:

6 x 8⁰= 6

2 x 8¹ = 16

3 x 8² = 192

3 2 6

Contoh: Konversi Bilangan Desimal Z (10) = 1059 ke bilangan Oktal Z (8)

Pemecahan:

1059 : 8 = 132 sisa 3

132 : 8 = 16 sisa 4

16 : 8 = 2 sisa 0

2 : 8 = 0 sisa 2

1059 (10) = 2 0 4 3 (8)

Jadi Z (10) = 1059 adalah Z (8) = 2043

Test 2 . 8³ + 0 . 8² + 4 . 8¹ + 3 . 8⁰

= 2 . 512 + 0 . 64 + 4 . 8 + 3 . 1

= 1024 + 0 + 32 + 3

Z₍₁₀₎ = 1059

H. Konversi biner ke heksadesimal

Untuk mengkonversi bilangan biner ke bilamgan hexadesimal diperlukan konversi bilangan ke bilangan desimal sebagai perantara .karena bilangan desimal sudah biasa digunakan dengan demikian dalam mengkonversi bilangan biner ke bilangan hexadesimal dibutuhkan dua tahap. Tahap pertama yaitu mengubah bilangan biner ke bilangan desimal kemudian tahap ke dua yaitu mengubah hasil tahap pertama yaitu bilangan desimal menjadi bilangan hexadesimal.

Contoh :

Ubahlah bilangan 2A₁₆ke dalam basis -2 yang setara .

Tahap 1 :

Mengubah bilanga 2A ₁₆ menjadi basis -10

2A₁₆= 2´16¹+ 10´16⁰

= 32 + 10 = 42₁₀

Tahap 2:

Mengubah bilangan 42₁₀ menjadi bilangan basis -2

42 / 2 = 21sisa 0 (LSB)

/ 2 = 10sisa 1

/ 2 = 5 sisa 0

/ 2 = 2 sisa 1

/ 2 = 1 sisa 0

Jadi 2A₁₆ = 101010₂

Dalam mengubah bilangan biner ke hexadecimal bisa menggunaka cara lain yaitu dengan menggunakan metode pengelompokan bit. Setiap digit bilangan hexadecimal terdiri dari 4 bit biner.pengelompokan dimulai dari bilangan LSB ( Least Significant Bit) menjadi kelompok digit bilangan hexadesimal (4 bit), kemudian setiap kelompok dikonversi digit bilangan biner.Apabila pengelompokan pada MSB ( Most Significant Bit ) tidak terdiri dari 4 bit maka dapat ditambahkan angka 0.

Contoh: konversikan 10110011₂ ke bilangan heksadesimal

Jawab : 1011 0011

B 3

Jadi 10110011₂ = B3₁₆

I. Konversi biner ke oktal

Konversi Bilangan Oktal ke Desimal

Suatu bilangan oktal dapat dengan mudah dikonversikan ke bilangan desimal yang ekuivalen dengannya dengan cara mengalikan tiap-tiap digit bilangan oktal sesuai dengan urutannya. Contohnya:

473₈ = 4 x (8²) + 7 x (8¹) + 3 x (8⁰)

= 4 x (64) + 7 x (8) + 3 x (1)

= 256 + 56 + 3

= 315₁₀

54.5₈ = 5 x (8¹) + 4 x (8⁰) + 5 x (8^-1)

= 5 x (8) + 4 x (1) + 5 x ()

= 40 + 4 + 0.625

= 44.625₁₀

Konversi Bilangan Desimal ke Oktal

Suatu bilangan desimal pun juga dapat dikonversikan menjadi bilangan oktal menggunakan metode pembagian berulang (semisal pohon faktor) seperti pada pengkonversian bilangan desimal ke biner, namun dengan angka 8. Seperti contoh di bawah:

☺Catatan: Angka sisa pertama bilangan oktal menjadi LSD (Least Significant Digit), dan angka hasil terakhir akan menjadi MSD (Most Significant Digit).

Konversi Bilangan Oktal ke Biner

Sebenarnya untuk menkonversikan bilangan oktal ke bilangan biner mudah saja, kita hanya tinggal mengkonversikan bilangan okal tersebut ke dalam bilangan desimal, setelah itu desimal itu bilangan tinggal dikonversikan kembali ke bilangan biner dengan metode yang telah dipelajari. Selain itu, konversi bilangan oktal ke bilangan biner dilakukan dengan mengkonversikan setiap angka bilangan oktal pada 3 bit bilangan biner yang ekuivalen. Berikut beberapa angka konversi oktal ke biner.

Tabel 1.3 konversi oktal biner

Angka Oktal	0	1	2	3	4	5	6	7
Angka Biner	000	001	010	011	100	101	110	111

Dengan menggunakan metode ini, kita dapat mengkonversikan setiap angka pada bilangan oktal ke biner secara terpisah. Sebagai contoh, konversikan 472₈ ke bilangan biner seperti yang ditunjukkan di bawah.

4	7	2
↓	↓	↓
100	111	010

Sehingga 472₈ ekuivalen dengan bilangan biner 100111010₂.

Contoh lainnya, konversikan 5431₈ ke biner!

5	4	3	2	1
↓	↓	↓	↓	↓
101	100	011	010	001

Sehingga 54321₈ = 101100011010001₂

Konversi Biner ke Oktal

Konversi bilangan biner ke oktal gampangnya kita pakai metode yang hampir sama dengan yang di atas tadi, namun secara terbalik. Bit dari bilangan biner kelompok 3 bit dimulai dari LSB (Low Significant Bit). Lalu, tiap kelompok bit dikonversi pada bilangan oktal yang ekuivalen dengannya. Sebagai contoh perhatikan konversi 100111010₂ ke oktal.

100	111	010
↓	↓	↓
4	7	2₈

Namun seringkali kita temui suatu bilanga biner yang tidak terdiri dari kumpulan biner 3 bit. Untuk menyiasatinya kita bisa menambah satu atau dua angka 0 pada sebelah kiri MSB bilangan biner untuk melengkapi kelompok terakhir. Konversikan bilangan biner 11010110₂ ke oktal!

011	010	110
↓	↓	↓
3	2	6₈

☺Catatan: Angka 0 ditambahkan di sebelah kiri MSB untuk melengkapi kelompok 3 bit bilangan biner.

J. Konversi oktal ke heksadesimal

Konversi Bilangan dari Basis-8 (Oktal) ke Basis-16 (Heksa-Desimal)

Dalam sistem oktal (basis-8) mempunyai simbol angka (numerik) sebanyak 8 buah simbol, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Contoh penulisan : 17_8.

Dalam sistem heksa-desimal (basis-16) mempunyai simbol angka (numerik) sebanyak 16 buah simbol. Karena angka yang telah dikenal ada 10 maka perlu diciptakan 6 simbol angka lagi yaitu A, B, C, D, E, dan F dengan nilai A₁₆= 10₁₀; B₁₆= 11₁₀, C₁₆= 12₁₀, D₁₆= 13₁₀, E₁₆= 14_{10 ,}dan F₁₆= 15_10.Dengan demikian simbol angka-angka untuk sistem heksa-desimal adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F. Contoh penulisan : FF_16.

Untuk konversi oktal (basis-8) ke heksa-desimal (basis-16), akan membutuhkan perantara, yaitu bilangan biner.

Konversi dulu oktal ke biner, lalu konversikan nilai biner tersebut ke nilai heksa-desimalnya.

Contoh :

Ubahlah bilangan 1717₈ ke dalam basis-16 yang setara !

Konversi dulu oktal ke biner :

1717 : 2 = 858, sisa 1

858 : 2 = 429, sisa 0

429 : 2 = 214, sisa 1

214 : 2 = 107, sisa 0

107 : 2 = 53, sisa 1

53 : 2 = 26, sisa 1

26 : 2 = 13, sisa 0

13 : 2 = 6, sisa 1

6 : 2 = 3, sisa 0

3 : 2 = 1, sisa 1

1 : 2 = 0, sisa 1

Sisa dituliskan dari bawah : 11010110101

Jadi 1717₈= 11010110101₂

Konversikan nilai biner tersebut ke nilai heksa-desimalnya :

Jika ingin mengubah suatu bilangan dalam basis-2 (biner) menjadi bilangan setara dalam basis-8 (oktal) atau basis-16 (heksa-desimal) dan sebaliknya, maka digunakan metode pengelompokan bit. Setiap digit bilangan oktal terdiri dari 3 bit biner, dan setiap digit bilangan heksadesimal terdiri dari 4 bit biner. Pengelompokan dimulai dari bagian LSB (Least Significant Bit) menjadi kelompok-kelompok digit bilangan oktal (3 bit) atau heksadesimal (4 bit), kemudian setiap kelompok dikonversi menjadi digit bilangan yang bersangkutan. Jika sisa bit hasil pengelompokan pada MSB (Most Significant Bit) tidak terdiri 3 bit atau 4 bit, maka dapat ditambahkan angka 0 (nol) secukupnya.

Konversi nilai biner tersebut ke nilai heksa-desimalnya 11010110101₂ !!!

Karena basis tujuanya adalah heksadesimal, maka pengelompokanya dalam 4 bit seperti berikut :

110 1011 0101

(tambah 0 pada MSB) 0110 1011 0101

(digit heksadesimal) 6 B 5

Jadi : 11010110101₂ = 6B5₁₆

Konversi bilangan 1717₈ ke dalam basis-16 adalah 6B5₁₆

1.3 Sistem BCD (Biner Coded Decimal)

Dalam kehidupan sehari-hari kita telah terbiasa dengan sistem bilangan desimal dan karenanya sistem ini dianggap sebagai kode yang paling bermakna. Dalam peralatan digital seperti pencacah frekuensi, multimeter digital, kalkulator, komputer, dan lain-lain menampilkan bilangan (angka) dalam bentuk desimal. Kita tahu bahwa mekanisme komputasi dalam alat-alat tersebut terjadi dalam bentuk biner. Jika hasil komputasi tetap ditampilkan dalam bentuk biner, kita mengalami hambatan atau bahkan sulit memahaminya, karena kita tidak terbiasa dengan bilangan yang tampil dalam bentuk biner. Jadi jelaslah bahwa dalam pemakaiannya tampilan desimal lebih mudah difahami dari pada tampilan biner. Oleh karena itu diperlukan suatu cara penyandian dari biner ke desimal atau sebaliknya. Sebagai contoh, dengan menggunakan sandi biner paling sederhana, bilangan desimal 25 dan 43 masing-masing disandikan sebagai berikut

25₍₁₀₎ = 11001₍₂₎

43₍₁₀₎ = 101011₍₂₎

Pada dasarnya dikenal dua jenis sandi biner yaitu sandi tak berbobot dan sandi berbobot. Seperti dua contoh di atas termasuk dalam sandi tak berbobot, setiap angka biner memiliki nilai sesuai dengan posisinya (satuan, duaan, empatan, dan seterusnya). Dalam sandi tak berbobot, semua digit bilangan desimal disandikan langsung, atau sebaliknya semua pernyataan biner menyandikan suatu bilangan desimal, jadi bukan digit per digit. Dalam sandi berbobot hanya bilangan-bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 yang disandikan. Untuk menyatakan bilangan desimal lebih dari satu digit, maka setiap digit disandikan sendiri. Salah satu sistem sandi berbobot adalah BCD (Biner Coded Decimal) atau desimal yang disandikan biner. Untuk menyatakan setiap digit desimal diperlukan 4 bit biner. Susunan 4 bit biner tersebut menghasilkan 16 kombinasi yang berbeda, tetapi hanya diperlukan 10 kombinasi di antaranya. Untuk menyatakan bilangan desimal N digit diperlukan N x 4 bit biner. Kelompok 4 bit yang pertama (paling kanan) menyatakan satuan, kelompok 4 bit ke dua adalah puluhan, kelompok 4 bit ke tiga merupakan ratusan, dan seterusnya. Sebagai contoh bilangan desimal 468 (adalah 3 digit) memerlukan tiga kelompok 4 bit. Perhatikan Tabel berikut.

Bobot

Sandi BCD

Digit desimal

800 400 200 100

0 1 0 0

80 40 20 10

0 1 1 0

8 4 2 1

1 0 0 0

Tiga kelompok 4 bit tersebut dapat menyajikan bilangan antara 0 sampai dengan 999 (seribu buah bilangan), dan karenanva dikatakan memiliki resolusi 1/1000 atau 0,1%.

Dekoder Biner Ke BCD

Data atau bilangan dalam mesin digital diproses dalam bentuk biner dan disajikan atau ditampilkan dalam bentuk kode. Untuk mengenal arti suatu kode diperlukan suatu rangkaian yang dikenal sebagai dekoder. Untuk merancang suatu rangkaian dekoder pada prinsipnya sama dengan merancang rangkaian logika pada umumnya. Salah satu rangkaian dekoder adalah untuk mengenal (mengubah) data atau bilangan dalam bentuk biner tak berbobot menjadi sandi biner berbobot. Rangkaian tersebut dinamakan dekoder biner ke BCD. Perhatikan bilangan desimal 25 dan 43 yang disajikan dalam biner tak berbobot dan biner berbobot (BCD) seperti pada Tabel berikut.

Tak berbobot

Berbobot (BCD)

Desimal

11001

0010 0101

2 5

101011

0100 0011

4 3

Selanjutnya, marilah kita rancang rangkaian dekoder biner ke BCD dan dibatasi untuk bilangan biner 4 bit sehingga bilangan terbesarnya adalah biner 1111 atau desimal 15. Untuk bit atau bilangan yang lebih besar prinsipnya sama. Rangkaian yang akan dibuat memiliki 4 terminal masukan (ABCD) dan 8 terminal keluaran (P₃P₂P₁P₀S₃S₂S₁S₀). Diperlukan 8 terminal keluaran karena bilangan-bilangan yang dihasilkan ada yang terdiri dari 2 digit (10, 11, 12, 13, 14, dan 15 masing-masing 2 digit). Tabel kebenaran rangkaian yang dimaksud adalah tampak pada Tabel di bawah ini.

Tabel 1.4 konversi biner ke BCD

Nomor Baris (Desimal)	Biner				BCD
	A	B	C	D	Puluhan				Satuan
	A	B	C	D	P₃	P₂	P₁	P₀	S₃	S₂	S₁	S₀
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1
2	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0
3	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0	1	1
4	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
5	0	1	0	1	0	0	0	0	0	1	0	1
6	0	1	1	0	0	0	0	0	0	1	1	0
7	0	1	1	1	0	0	0	0	0	1	1	1
8	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
9	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	1
10	1	0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0
11	1	0	1	1	0	0	0	1	0	0	0	1
12	1	1	0	0	0	0	0	1	0	0	1	0
13	1	1	0	1	0	0	0	1	0	0	1	1
14	1	1	1	0	0	0	0	1	0	1	0	0
15	1	1	1	1	0	0	0	1	0	1	0	1

Dari tabel 12.3 tampak bahwa ada 8 fungsi keluaran, tetapi 3 fungsi di antaranya, yaitu P₃, P₂dan P₁, selalu 0. Sehingga tinggal 5 fungsi masing-masing dapat dinyatakan dalam bentuk minterm sebagai:

S₀ = Σ m (1,3,5,7,9,11,13,15)

S₁ = Σ m (2,3,6,7,12,13)

S₂ = Σ m (4,5,6,7,14,15)

S₃ = Σ m (8,9)

P₄ = Σ m (10,11,12,13,14,15)

$Description: C:\Documents and Settings\badi\My Documents\My Pictures\Untitled-5.jpg$ $Description: C:\Documents and Settings\badi\My Documents\My Pictures\Untitled-5.jpg$ Fungsi-fungsi tersebut jika dituangkan dalam peta Karnaugh dapat dilihat seperti pada Gambar di bawah ini.